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介護認定について教えてください！！（介護何でも相談）

介護認定について教えてください！！ 母が去年脳梗塞で倒れ介護認定を受けました。
今は一人で身の回りのことはできるまでに回復していますが、まだ一人でお風呂を入ったり坂道や階段・長距離の歩行は難しく「要介護２」の認定を受けました。

この「要介護認定」についてですが、デイサービス等をある一定金額まで国？市？から補助が出て無料でサービスを受けられると記載がありましたが、具体的にどういった利用方法や支払いになるのかわかりません。
母はまだ５０代前半のため、「高齢者介護」とは違うと思うのですが、最近施設がどんどんできているデイサービス？ケアサービスなどお風呂やリハビリを受けさせたいと考えてます。
具体的な利用方法やデイサービス・ケアサービスの違いを簡単に教えていただけませんか？

また、こういったサービスは他県でも同じように利用できるものなのでしょうか？
私は母と離れて住んでおり、今は母と同居している姉が母の面倒を見ていますが今月姉が出産をして、あかちゃんと母の両方の面倒をみることがかなり負担なようで・・・。
できるなら私の住んでいる県へ、姉の育児が落ち着くまで母を連れてきたいと考えています。
他県の場合も、健康保険証や介護サービスが同じように使えるのか知りたいです！！
（母はまだ入院していますがもう退院をできるまでに回復しており、姉の赤ちゃんの１カ月検診を過ぎたら退院する予定となっています。）

質問ばかりで申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。