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認知症の親を施設にお願いするのは、親不幸ですか。（介護何でも相談）

認知症の親を施設にお願いするのは、親不幸ですか。 家族構成
父
母（認知症で要介護４、意識レベルははっきりしており徘徊などはないが幻覚や時間のズレがあり、体が動きにくい）
姉（働いている）
妹（働いている）の４人です。
父母姉が同居、妹は鬱病の為近くで一人暮らしをしています。

母はデイケアに通ったりしていますが、家にいるときは主に父が面倒を見ています。
足腰が弱く、急に倒れたりするので目が離せません、夜は30分から1時間置きに父を起こしてトイレへ行きます。
妹は会社帰りに電話したり、顔を出したり、病院に連れていったりしています。

さすがに毎日毎晩母の面倒をみている父は精神的にダウン寸前です。
父姉は母へいらだちがつのり、手をあげたりきつい言葉を言ってしまいます。（良くないことは分かっています）
母も怯えている部分があります。

そこで、母を24時間見ていてくれる施設に入ってもらうことを検討しました。（あるかどうか分かりませんが）
そうすることで、父姉がイライラすることはなく暴力もなくなり、母も怯える事はなくなります。
24時間見てもらえるなら、病院を信用している母も安心と思います。
しかし寂しさや悲しさがあるのは分かっています。

この話を母に話すと、妹に、あなたと一緒に暮らそうか、と言いました。
体の事で辛いことがあったとき、家を出て妹の所へ行こうと思ったが、お金も持っていないので止めたと言いました。
妹のことを一番愛しているのはお母さんだよと言いました。
妹は涙が止まりませんでした。

こんな母を施設にお願いするのは親不幸なんでしょうか。
妹が面倒をみればいいのでしょうが、鬱病が治りかけており、また再発しそうで、自信がありません。

認知症とはいえ、意識や考えははっきりしている時が多いので、病院や施設にお願いするのに抵抗があります。
周囲の人間が我慢すればいいのでしょうが、今のままだと介護する側もされる側も両方が辛い思いをしたままになります。

皆の事を考えて出てきた施設という結果ですが、子供として家族として薄情なのでしょうか。
家族はお互いを想い合っていますが、病人がいるということで何をどうしたらいいか分からずパニックです。

親を施設にお願いする ということについて、皆さんの意見をお聞かせください。

乱文申し訳ありません。
宜しくお願いいたします。