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生活保護受給者の引越しについて、ご質問いたします。（介護のお金）

生活保護受給者の引越しについて、ご質問いたします。

母（８２）は、年金額（月３万円）の収入のみで生活困窮の為生活保護を受給しています。 父はすでに亡くなっており、最近までA市に一人暮らししておりましたが、８月２２日に水害に遭い（床上浸水）今現在は、兄の所に避難しております。

その後、大家さんより連絡があり「今後、住む気がないのであれば取り壊します」と言われ、二度目の水害というのもあり、私自身（４０歳）も「母をこんな危険な所には住ませてはおけない」と思い、引越しを決意しました。

昨日、ようやく次の住むところが決まったのですが、場所は私の住むB市（私の住居から歩いて５分）です。

高齢の為、貸していただける物件は限られてたのですが私のすぐ傍の所で見つけられて嬉しく思っております。

次はいよいよ、契約、家具搬入、引越し、入居となるのですが、同時に役所関係への届出もしますが、

生活保護の廃止と申請について、どなたかお詳しい方がいらっしゃいましたら、簡単な流れと注意しなければならない点等があれば教えてください。

補足です。

母は日常生活を送れる位の身体能力はありますが、それが精一杯の状態です。
兄、私の所も手一杯で（経済的にも環境的にも）同居は無理です。
一月分位の生活費等の経済援助は出来そうですが、母が困窮状況になるのは間違いないです。
引越し費用、入居初期費用はA市の方で出して頂けます。
A市の生活保護担当職員からは「もし、B市への引越しとなるとA市の生活保護は廃止、B市で新たに申請です」と一応聞いています。
A市、B市の福祉課に相談に行くのが手っ取り早い（そこしか明確な答えが出せない）のは解ってはいますが、予備知識程度は持ちたいのが本音です。
追伸、
水害後、片付け作業、母の世話、契約解除、住居探し、市への相談、対応に追われヘトヘトですが、親はかけがえのない存在ですので、一生懸命親孝行しています。